Statistika Lanjut

NILAI HARAPAN DAN VARIANS DARI PEUBAH ACAK DISKRIT

Rata-rata (m) dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan dari peubah acaknya.

 

Nilai harapan peubah acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil.

 

Nilai harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan probabilitasnya P(X) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut.

 

Nilai harapan dari peubah acak diskrit X yang dinotasikan dengan E(X) dirumuskan sebagai berikut.

 

= x1 p(x1) + x2 p(x2) + ….+ xN p(xN)

 

dimana.

xi = nilai ke-i dari peubah acak X

p(xi) = probabilitas terjadinya xi

 

Selain rata-rata, ukuran statistic yang lain adalah varians dan standar deviasi.

Varians (s2) dari peubah acak diskrit didefinisikan sebagai berikut.

Varians dari peubah acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.

 

Varians  diperoleh  dengan  mengalikan setiap kemungkinan kuadrat selisih (x – m)2 dengan probabilitasnya p(xi) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut. Sehingga varians dinyatakan sebagai berikut.

 

dimana:

xi = nilai ke-I dari variable acak X

p(xi) = probabilitas terjadinya xi

 

Standar deviasi s diperoleh dengan menarik akar dari s2.

 

Var (x) = s2 = E (X2) –  (E (X))2   atau

Var (x) = s2 = S ((x- m)2. P(x))

s =

contoh soal :

  1. Sekelompok ahli sebuah perusahaan terdiri atas 4 orang ahli manajemen dan 3 orang ahli akuntansi. Akan dibentuk suatu komisi yang terdiri atas 3 orang (komisi 3). Jika anggota komisi tiga diambil secara acak dari ke – 7 ahli tersebut, tentukan a. nilai harapan banyaknya ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut!. b. Var (X) dan simpangan bakunya.

Penyelesaian :

Misalkan x adalah banyaknya ahli manajemen dalam komisi tiga maka peubah acak x dapat memiliki nilai 0,1,2,3. Distribusi probabilitas dari peubah x dapat dihitung dengan menggunakan pendekatan kombinasi.

f (x) =    , x = 0,1,2,3

f(0) =

f(1) =

f(2) =

f(3) =

 

distribusi probabilitasnya adalah :

x 0 1 2 3
f(x) 1/35 12/35 18/35 4/35
x.f(x) 0 12/35 36/35 12/35

 

Maka nilai harapan banyaknya ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut adalah :

E(x) = S x.f(x) = 0+  +  +   =  = 1,7

Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa andaikan komisi tiga itu dibentuk berulang-ulang maka diharapkan banyaknya ahli manajemen dalam setiap komisi yang terbentuk adalah 1,7 atau 2 orang (sebagai pendekatan).

E(X2) =S x2.f(x) =  0(  +1(  + 4( +9( )=  = 3.43

 

Var (X) = E(X2) – (E(X))2

= 3.43 – (1,7)2 = 3.43 – 2.89 = 0.54

 

NILAI HARAPAN DAN VARIANS DARI PEUBAH ACAK DISKRIT

Rata-rata (m) dari distribusi probabilitas adalah nilai harapan dari peubah acaknya.

 

Nilai harapan peubah acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil.

 

Nilai harapan diperoleh dengan menyatakan setiap kemungkinan hasil x dengan probabilitasnya P(X) dan kemudian menjumlahkan hasil perkalian tersebut.

 

Nilai harapan dari peubah acak diskrit X yang dinotasikan dengan E(X) dirumuskan sebagai berikut.

 

= x1 p(x1) + x2 p(x2) + ….+ xN p(xN)

 

dimana.

xi = nilai ke-i dari peubah acak X

p(xi) = probabilitas terjadinya xi

 

Selain rata-rata, ukuran statistic yang lain adalah varians dan standar deviasi.

Varians (s2) dari peubah acak diskrit didefinisikan sebagai berikut.

Varians dari peubah acak diskrit adalah rata-rata tertimbang dari kuadrat selisih antara kemungkinan hasil dan rata-ratanya dimana penimbangnya adalah probabilitas dari masing-masing hasil tersebut.

 

Varians  diperoleh  dengan  mengalikan setiap kemungkinan kuadrat selisih (x – m)2 dengan probabilitasnya p(xi) dan kemudian menjumlahkan seluruh hasil perkalian tersebut. Sehingga varians dinyatakan sebagai berikut.

 

dimana:

xi = nilai ke-I dari variable acak X

p(xi) = probabilitas terjadinya xi

 

Standar deviasi s diperoleh dengan menarik akar dari s2.

 

Var (x) = s2 = E (X2) –  (E (X))2   atau

Var (x) = s2 = S ((x- m)2. P(x))

s =

contoh soal :

  1. Sekelompok ahli sebuah perusahaan terdiri atas 4 orang ahli manajemen dan 3 orang ahli akuntansi. Akan dibentuk suatu komisi yang terdiri atas 3 orang (komisi 3). Jika anggota komisi tiga diambil secara acak dari ke – 7 ahli tersebut, tentukan a. nilai harapan banyaknya ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut!. b. Var (X) dan simpangan bakunya.

Penyelesaian :

Misalkan x adalah banyaknya ahli manajemen dalam komisi tiga maka peubah acak x dapat memiliki nilai 0,1,2,3. Distribusi probabilitas dari peubah x dapat dihitung dengan menggunakan pendekatan kombinasi.

f (x) =    , x = 0,1,2,3

f(0) =

f(1) =

f(2) =

f(3) =

 

distribusi probabilitasnya adalah :

x 0 1 2 3
f(x) 1/35 12/35 18/35 4/35
x.f(x) 0 12/35 36/35 12/35

 

Maka nilai harapan banyaknya ahli manajemen yang dapat duduk dalam komisi tiga tersebut adalah :

E(x) = S x.f(x) = 0+  +  +   =  = 1,7

Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa andaikan komisi tiga itu dibentuk berulang-ulang maka diharapkan banyaknya ahli manajemen dalam setiap komisi yang terbentuk adalah 1,7 atau 2 orang (sebagai pendekatan).

E(X2) =S x2.f(x) =  0(  +1(  + 4( +9( )=  = 3.43

 

Var (X) = E(X2) – (E(X))2

= 3.43 – (1,7)2 = 3.43 – 2.89 = 0.54

  • = = 0.73

 

sumber: diklat bahan ajar statistika lanjut univ.indraprasta

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s